س^2 - 4س + 4 = -3 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 2 )^2 = 1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما س - 2 = 1 بإضافة + 2 للطرفين س = 3 أو س - 2 = -1 بإضافة + 2 للطرفين س = 1
مجموعة الحل = { 3 ، 1 }
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع 3س^2 + 12س + 12 = صفر بإضافة - 12 للطرفين3س^2 + 12س = -12 بالقسمة على معامل س2 وهو 3 س^2 + 4س = -4 معامل س = 4 نصفه = 2 مربعه = 4 س^2 + 4س + 4 = -4 + 4 نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س + 2 )^2 = صفر
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا معادلتان هما
س + 2 = صفر بإضافة + 2 للطرفين س = -2
مجموعة الحل = { -2 }
ملاحظة : المعادلة السابقة لها حلان متشابهان هما -2 و –2ويكتفى بكتابة حل واحد فقط . ( لماذا ؟ )
تطبيق : جد حل المعادلة التالية بطريقة إكمال المربع2س^2 - 12س + 20 = صفر
بإضافة - 20 للطرفين2س^2 - 12س = -20 بالقسمة على معامل س2 وهو 2 س^2 - 6س = -10
معامل س = -6 نصفه = -3 مربعه = 9
س^2 - 6س + 9 = -10 + 9
نكتب الطرف الأيمن على صورة ( س + ب )^2 ( س - 3 )^2 = -1
بأخذ الجذر التربيعي للطرفين ينتج لنا أن المعادلة مستحيلة الحل
شرح آخر : [b]* الصّورة العامّة للاقتران التربيعي:
قطع مكافئ... يلزمني لأرسمه رسماً تقريبياً: معرفة إحداثيات نقطة الرأس، وهل فتحة القطع لأعلى أم لأسفل.
1- الإحداث السّيني لنقطة الرأس =
2- بعد أن أجد قيمة س نقطة الرأس أعوّضها في المعادلة المُعطاة؛ فأجد ص نقطة الرأس.
3- أعيّن نقطة الرأس الناتجة معي على المستوى الديكارتي.
4- أنظر إلى أ في المعادلة المُعطاة؛ فإذا كانت موجبة أجعل فتحة القطع لأعلى، وإذا كانت سالبة تكون فتحة القطع لأسفل.
جرّب أن تجد بنفسك إحداثيات نقطة الرأس، واتجاه فتحة القطع... من المُعادلة.
** علينا معرفة ما يلي جيّداً:
! - يكون لكل قطع مكافئ نقطة تقسم منحناه إلى نصفين متماثلين وتسمى هذه النقطة رأس القطع، الإحداث السّيني لها هو: س = وأجد الإحداث الصّادي لها بتعويض س في المعادلة المعطاة.
ب - ينتهي محور تماثل القطع المكافئ في نقطة رأسه لذلك نسمّيها نقطة نهاية عظمى (إذا كانت فتحة القطع لأسفل - كالجبل) أو صغرى (إذا كانت فتحة القطع لأعلى - كالقاع).
أ - يوجد لكل قطع مكافئ محور تماثل يقسمه إلى نصفين متماثلين؛ معادلته: س = وإن كانت إحداثيات نقطة الرّأس معلومة نأخذ س نقطة الرّأس. س=س نقطة الرّأس.
د- لأجد نقاط تقاطع الاقتران مع محور الصّادات أعوّض س = صفر في المعادلة المُعطاة.
هـ- حلول، أو أصفار، أو جذور المعادلة (الاقتران) هي نقاط تقاطع القطع المكافىء مع محور السّينات (ص = صفر) فإذا كان المميّز موجب نقول أنّ للاقتران جذران مختلفان أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطتين، وإذا كان المميّز صفراً يكون للاقتران جذران متساويان (تجاوزاً نقول: جذر واحد) أي أنّه يقطع محور السّينات في نقطة واحدة هي نقطة الرأس، أي أنّ قيمة الجذر = وهي الإحداث السّيني لنقطة الرأس، وإذا كان المميّز سالباً نقول أنه لا يوجد جذور حقيقيّة للاقتران وبيانياً لا يقطع الاقتران محور السّينات.
تدريب:
أستخرج من الرّسوم التالية:
1- نقاط التقاطع مع محور ص 2- نقاط التقاطع مع محور س 3- إحداثيات نقطة الرأس. 4- معادلة محور التماثل
و- ليكون التمثيل البياني أكثر دقة أفترض نقاطاً سينيّة على يمين ويسار الإحداث السّيني لنقطة الرّأس وأعوّضها في المعادلة المعطاة لأجد ص لها، ثمّ أعيّن الأزواج المرتبة الناتجة من الفرض والتعويض على المستوى الديكارتي وأصل بينها جميعاً. أمثلة بالرّسم:
